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    （2012•韶关二模）在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是
    		2
    2
    ，设动点P的轨迹为C1，Q是动圆C2：x2+y2=r2（1＜r＜2）上一点．
    （1）求动点P的轨迹C1的方程，并说明轨迹是什么图形；
    （2）设曲线C1上的三点A(x1，y1)，B(1，
    		2
    2
    )，C(x2，y2)    与点F的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；
    （3）若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值．
    分析：（1）由已知，得
    		(x-1)2+y2
    |2-x|
    =
    		2
    2
    ，由此能求出动点P的轨迹C1的方程和轨迹是什么图形．
    （2）由已知可得|AF|=
    		2
    2
    (2-x1)    ，|BF|=
    		2
    2
    (2-1)    ，|CF|=
    		2
    2
    (2-x2)    ，因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以x1+x2=2，故线段AC的中点为(1，
    y1+y2
    2
    )    ，其垂直平分线方程为y-
    y1+y2
    2
    =-
    x1-x2
    y1-y2
    (x-1)    ，由此能求出直线BT的斜率．
    （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），直线PQ的方程为y=kx+m，因为P既在椭圆C1上又在直线PQ上，由此能求出P、Q两点的距离|PQ|的最大值．
    解答：解：（1）由已知，得
    		(x-1)2+y2
    |2-x|
    =
    		2
    2
    ，…（2分）．
    将两边平方，并化简得
    x2
    2
    +y2=1    ，…（4分）．
    故轨迹C1的方程是
    x2
    2
    +y2=1    ，
    它是长轴、短轴分别为2
    		2
    、2的椭圆…（4分）．
    （2）由已知可得|AF|=
    		2
    2
    (2-x1)    ，|BF|=
    		2
    2
    (2-1)    ，|CF|=
    		2
    2
    (2-x2)    ，
    因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以
    		2
    2
    (2-x1)    +
    		2
    2
    (2-x2)    =2×
    		2
    2
    (2-1)    ，
    即得x1+x2=2，①…（5分）．
    故线段AC的中点为(1，
    y1+y2
    2
    )    ，
    其垂直平分线方程为y-
    y1+y2
    2
    =-
    x1-x2
    y1-y2
    (x-1)    ，②…（6分）．
    因为A，C在椭圆上，故有
    x12
    2
    +y12=1    ，
    x22
    2
    +y22=1    ，
    两式相减，得：
    x12-x22
    2
    +y12-y22=0    ③
    将①代入③，化简得-
    x1-x2
    y1-y2
    =
    2(y1+y2)
    x1+x2
    =y1+y2    ，④…（7分）．
    将④代入②，并令y=0得，x=
    1
    2
    ，
    即T的坐标为(
    1
    2
    ，0)    ．…（8分）．
    所以kBT=
    		2
    2
    -0
    1-
    1
    2
    =
    		2
    ．…（9分）．
    （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），
    直线PQ的方程为y=kx+m，
    因为P既在椭圆C1上又在直线PQ上，
    从而有
    y1=kx1+m
    x12
    2
    +y12=1

    ∴（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0…（10分）．
    由于直线PQ与椭圆C1相切，故△=（4km）2-4×2（m2-1）（2k2+1）=0
    从而可得m2=1+2k2，x1=-
    2k
    m
    ，
    同理，由Q既在圆C2上又在直线PQ上，可得m2=r2（1+k2），x2=-
    2k
    m
    …（12分）
    ∴k2=
    r2-1
    2-r2
    ，x2-x1=
    k(2-r2)
    m

    所以|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2
    =
    m2
    r2
    •
    k2(2-r2)2
    m2
    =
    (2-r2)2
    r2
    •
    r2-1
    2-r2

    =
    (2-r2)(r2-1)
    r2
    =3-r2-
    2
    r2
    ≤3-2
    		2
    =(
    		2
    -1)2    …（13分）．
    即|PQ|≤
    		2
    -1    ，当且仅当r2=
    		2
    时取等号，
    故P、Q两点的距离|PQ|的最大值
    		2
    -1    ．…（14分）．
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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    13
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    3
    5
    ．则sinα=
    3
    5
    3
    5
    ；tan（π-2α）=
    24
    7
    24
    7
    ．

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    		x
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    -1，x＜0
    ，设f（x）=
    sgn(
    1
    2
    -x)+1
    2
    •f1（x）+
    sgn( x-
    1
    2
    )+1 
    2
    •f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=x+
    1
    2
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    cosA
    cosB
    =
    b
    a
    =
    		3
    1
    ．
    （1）求证：△ABC是直角三角形；
    （2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧
    AC
    上，∠PAB=θ，用θ的三角函数表示三角形△PAC的面积，并求△PAC面积最大值．

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