【题目】在直角坐标系中,动圆与圆外切,且圆与直线相切,记动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)设过定点的动直线与曲线交于两点,试问:在曲线上是否存在点(与两点相异),当直线的斜率存在时,直线的斜率之和为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】
(1)设,圆的半径为,由动圆与圆外切,可得,又动圆与直线相切,所以,两式结合消去即可得结果;(2)设出的坐标,
直线方程为,联立直线与抛物线方程消去可得关于的一元二次方程,由韦达定理、斜率公式可得,,化为,由可得结果.
(1)设P(x,y),圆P的半径为r,
因为动圆P与圆Q:(x-2)2+y2=1外切,
所以,①
又动圆P与直线x=-1相切,所以r=x+1,②
由①②消去r得y2=8x,
所以曲线C的轨迹方程为y2=8x.
(2)假设存在曲线C上的点M满足题设条件,不妨设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则,,,
,,
所以,③
显然动直线l的斜率存在且非零,设l:x=ty-2,
联立方程组,消去x得y2-8ty+16=0,
由Δ>0得t>1或t<-1,
所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,
代入③式得,令(m为常数),
整理得,④
因为④式对任意t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,
所以,
所以或,即M(2,4)或M(2,-4),
即存在曲线C上的点M(2,4)或M(2,-4)满足题意.
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【题目】已知函数(为自然对数的底数).
(1)若函数,求函数的极值;
(2)讨论函数在定义域内极值点的个数;
(3)设直线为函数的图象上一点处的切线,证明:在区间上存在唯一的,使得直线与曲线相切.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是 (为参数),以原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于, 两点,与轴交于点,求.
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【题目】袋子中有四个小球,分别写有“美、丽、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“中、国、美、丽”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为
A. B. C. D.
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【题目】从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到频数分布表和频率分布直方图如下.
组号 | 分组 | 频数 |
1 | [0,2) | 6 |
2 | [2,4) | 8 |
3 | [4,6) | 17 |
4 | [6,8) | 22 |
5 | [8,10) | 25 |
6 | [10,12) | 12 |
7 | [12,14) | 6 |
8 | [14,16) | 2 |
9 | [16,18) | 2 |
合计 | 100 |
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值.
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【题目】从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分),并卷成一个深度为米的圆锥筒(如图2).若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为.
(1)求圆锥筒的容积;
(2)在(1)中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱(如图3),求内接圆柱侧面积最大时的值.
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