Question

【题目】在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的轨迹方程；

(2)设过定点的动直线与曲线交于两点，试问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

（1）设，圆的半径为，由动圆与圆外切，可得，又动圆与直线相切，所以，两式结合消去即可得结果；（2）设出的坐标，

直线方程为，联立直线与抛物线方程消去可得关于的一元二次方程，由韦达定理、斜率公式可得，,化为，由可得结果.

（1）设P（x，y），圆P的半径为r，

因为动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，

所以，①

又动圆P与直线x＝－1相切，所以r＝x＋1，②

由①②消去r得y2＝8x，

所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．

（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，，

，，

所以，③

显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty－2，

联立方程组，消去x得y2－8ty＋16＝0，

由Δ＞0得t＞1或t＜－1，

所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，

代入③式得，令（m为常数），

整理得，④

因为④式对任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，

所以，

所以或，即M（2，4）或M（2，－4），

即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，－4）满足题意．