精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(
x
y
)=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)解不等式:f(x-1)<0;
(3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(
1
x
)<2.
分析:(1)利用赋值法,即可得到结论;
(2)f(x-1)<0等价于f(x-1)<f(1),利用f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,可得结论;
(3)由题意,f(4)=f(2)+f(2)=2,故原不等式f[x(x+3)]<f(4),由此可得结论.
解答:解:(1)在等式中令x=y≠0,则f(1)=0;
(2)∵f(1)=0,
∴f(x-1)<0等价于f(x-1)<f(1)
又f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
x-1<1
x-1>0
,解得x∈(1,2)
(3)由题意,f(4)=f(2)+f(2)=2,故原不等式为:f(x+3)-f(
1
x
)<f(4)

即f[x(x+3)]<f(4)
又f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
故原不等式等价于:
x+3>0
1
x
>0
x(x+3)<4
,解得0<x<1,即x∈(0,1).
点评:本题考查函数的单调性,考查解不等式,考查学生的计算能力,属于基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数.
(1)试证明对?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是区间(-1,1)5上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

14、下列命题中:
①若函数f(x)的定义域为R,则g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函数;
②若f(x)是定义域为R的奇函数,对于任意的x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称;
③已知x1,x2是函数f(x)定义域内的两个值,且x1<x2,若f(x1)>f(x2),则f(x)是减函数;
④若f (x)是定义在R上的奇函数,且f (x+2)也为奇函数,则f (x)是以4为周期的周期函数.
其中正确的命题序号是
①④

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f(
x
y
)=f(x)-f(y).
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(
1
3
)<2.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知下列命题四个命题:
①若f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0)上是增函数,θ∈(
π
4
π
2
)
,则f(sinθ)>f(cosθ);
②在△ABC中,A>B是cosA<cosB的充要条件;
③设函数f(x)=x2+2(-2≤x<0),其反函数为f-1(x),则f-1(3)=-1或1.
④在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b2+c2=a2+bc,则A=
π
3

其中真命题的个数有(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则不等式f(2x-1)<f(
13
)
的解集为
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案