Question

8．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$-1+lnx，若存在x₀＞0，使f（x₀）≤0成立，则得取值范围是（　　）

• A． a≥1
• B． 0＜a≤1
• C． a＜1
• D． a≤1

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，函数无最小值，
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=a，
当f′（x）＞0，即x＞a，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜a，函数单调递减，
∴f（x）_min=f（a）=lna
∵存在x₀＞0，使f（x₀）≤0成立，
∴lna≤0，
解得0＜a≤1，
故选：B

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．