Question

19．已知f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}a$x²+a．
（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-x有两个不同的极值点x₁，x₂．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：f（x₂）＞$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （I）求出f′（x）=lnx-x+1，f″（x）=$\frac{1}{x}-1$，判断f′（x）的单调性，求出f′（x）的最值得出f（x）的单调性；
（II）（i）令F′（x）=0得a=$\frac{lnx}{x}$，求出h（x）=$\frac{lnx}{x}$的单调性和最值，根据a=h（x）有两解得出a的范围；
（ii）根据x₂＞e和a=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$及不等式的性质计算f（x₂）即可得出结论．

解答 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）．
a=1时，f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²+1，f'（x）=lnx+1-x，
∴f″（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
当x＞1时，f″（x）＜0，当0＜x＜1时，f″（x）＞0，
∴f′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
∴f′（x）≤f′（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（II）（i）F（x）=f（x）-x=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x+a，
F'（x）=lnx-ax．
若F（x）有两个极值点x₁，x₂，则F'（x）=lnx-ax=0有两根x₁，x₂，
即$a=\frac{lnx}{x}$有两根x₁，x₂．
设h（x）=$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当x＞e时h'（x）＜0，h（x）单调递减；当0＜x＜e时h'（x）＞0，h（x）单调递增；
∴h_max（x）=h（e）=$\frac{1}{e}$，
又当x＞1时，$\frac{lnx}{x}$＞0，
∴a的取值范围是$（0，\frac{1}{e}）$．
（ii）由（i）知x₂＞e，a=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$．
∴f（x₂）=x₂lnx₂-$\frac{1}{2}$ax₂²+a=x₂lnx₂-$\frac{1}{2}$$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$x₂²+$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₂lnx₂+$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$＞2$\sqrt{\frac{1}{2}{x}_{2}•\frac{1}{{x}_{2}}}$lnx₂=$\sqrt{2}$lnx₂＞$\sqrt{2}$lne=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．