Question

14．已知f（x）=e^x，g（x）为其反函数．
（1）说明函数f（x）与g（x）图象的关系（只写出结论即可）；
（2）证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；
（3）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求证：x₁＞1．

Answer 1

分析 （1）根据函数与其反函数的图象关于y=x直线对称；
（2）设h（x）=x，利用导数求得f（x）-h（x）=e^x-x的最小值大于0，从而得e^x＞x，利用导数求得h（x）-g（x）=x-lnx的最小值大于0，从而得x＞lnx，这样可证明f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；
（3）根据导数的几何意义得直线的斜率为${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{2}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，利用${e}^{{x}_{1}}$＞0得：0＜x₂＜1⇒lnx₂＜0⇒x₁＞x₂+1，可证x₁＞1．

解答 解：（1）f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，
（2）证明：g（x）=lnx，设h（x）=x，
令y=f（x）-h（x）=e^x-x，
y′=e^x-1，
令y′=0，即e^x=1，解得x=0，
当x＜0时，y′＜0，
当x＞0时，y′＞0，
∴当x=0时，y_min=e^x-0=1＞0，
∴e^x＞x，
令y=h（x）-g（x）=x-lnx，
y′=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
令y′=0，解得：x=1；
当0＜x＜1时，y′＜0，
当x＞1，时y′＞0，
∴当x=1时，y_min=1-ln1=1＞0，
∴x＞lnx（x＞0）
∴f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方；
（3）f′（x）=e^x，g′（x）=$\frac{1}{x}$，切点的坐标分别为（x₁，${e}^{{x}_{1}}$）（x₂，lnx₂），
可得方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{2}}}\\{\frac{ln{x}_{2}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}={e}^{{x}_{1}}}\end{array}\right.$，
∵x₁＞x₂＞0，
∴${e}^{{x}_{1}}$＞1
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，
∴0＜x₂＜1，
∴lnx₂＜0，
又lnx₂-${e}^{{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$（x₂-x₁），
∴lnx₂=${e}^{{x}_{1}}$（x₂-x₁+1）＜0，
∴x₂-x₁+1＜0，
x₁＞x₂+1，
∴x₁＞1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数证明不等式、导数的几何意义、斜率计算公式、指数函数与对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．