Question

2．已知函数f（x）=x³+3x²-9x+a．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最小值为20，求它在该区间上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=3x²+6x-9，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）推导出f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，由此利用导数性质能求出函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+3x²-9x+a，
∴f′（x）=3x²+6x-9，
令f′（x）=3x²+6x-9＞0，解得x＜-3或x＞1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-3]，[1，+∞）．
（2）∵f（x）=x³+3x²-9x+a，
∴f（-2）=22+a，f（2）=20+a，
∴f（-2）＞f（2）．
∵在（-3，3）上f′（x）＞0，∴f（x）在[-1，2]上单调递增，
又由于f（x）在[-2，-1]上单调递减，
∴f（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值，
∵f（x）在区间[-2，2]上的最小值为20，
∴f（-1）=-1+3+9+a=11+a=20，解得 a=9．
故f（x）=-x³+3x²+9x+9，
∴f（2）=22+a=22+9=31，
即函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为31．

点评 本题考查函数在闭区间上的最大值的求法，考查函数的增区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．