Question

17．已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过F₂的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，求直线m的方程．

Answer 1

分析 解：（I）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列，∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4c，又|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴2a=4c，又c=1，a²=b²+c²，可得：c=1，a=2，b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（ II）①若m为直线：x=1．代入椭圆方程可得：y=$±\frac{3}{2}$，即P$（1，\frac{3}{2}）$，Q$（1，-\frac{3}{2}）$．直接计算知验证即可得出．
②若直线m的斜率为k，直线m的方程为：y=k（x-1），与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，可得：$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，代入化简基础即可得出．

解答 解：（I）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列，∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4c，又|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴2a=4c，又c=1，a²=b²+c²，可得：c=1，a=2，b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（ II）①若m为直线：x=1．代入椭圆方程可得：y=$±\frac{3}{2}$，即P$（1，\frac{3}{2}）$，Q$（1，-\frac{3}{2}）$．
直接计算知：|PQ|²=9，|F₁P|²+|F₁Q|²=$\frac{25}{2}$，不符合题意，舍去．
②若直线m的斜率为k，直线m的方程为：y=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，可得：$\overrightarrow{{F}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1），∴（1-k²）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+（1+k²）=0，
∴（1-k²）×$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+（1+k²）×$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（1+k²）=0，化为：7k²-9=0，解得k=±$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
∴直线m的方程为：y=±$\frac{3\sqrt{7}}{7}$（x-1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．