Question

12．已知函数f（x）=x⁴-$\frac{1}{3}$mx³+$\frac{1}{2}$x²+1在（0，1）上是单调递增函数，则实数m的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． $\frac{29}{5}$
• D． 6

Answer 1

分析 求出函数的对数，问题转化为m≤4x+$\frac{1}{x}$在（0，1）恒成立，根据不等式的性质求出m的最大值即可．

解答 解：f（x）=x⁴-$\frac{1}{3}$mx³+$\frac{1}{2}$x²+1，f′（x）=4x³-mx²+x，
函数f（x）=x⁴-$\frac{1}{3}$mx³+$\frac{1}{2}$x²+1在（0，1）上是单调递增函数，
则f′（x）≥0在（0，1）恒成立，即m≤4x+$\frac{1}{x}$在（0，1）恒成立，
而4x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{1}{x}}$=4，当且仅当x=$\frac{1}{2}$时“=”成立，
故m≤4，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．