Question

2．已知函数f（x）=ax-lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；   
（ 2）当x∈（0，e]时，求g（x）=e²x-lnx的最小值；
（3）当x∈（0，e]时，证明：e²x-lnx-$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}（x＞0）$，由a≤0和a＞0两种情况分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）由g（x）=e²x-lnx，得${g^'}（x）={e^2}-\frac{1}{x}=\frac{{{e^2}x-1}}{x}$，由此利用导性质能求出g（x）的最小值．
（3）令$φ（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，则$φ'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，令φ'（x）=0，得x=e，由此利用导数性质能证明e²x-lnx-$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax-lnx，a∈R，
∴$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}（x＞0）$．
①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{a}$，令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{a}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}）$上单调递减，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间是$（{0，\frac{1}{a}}）$，单调递增区间是$（\frac{1}{a}，+∞）$．…（5分）
（2）∵g（x）=e²x-lnx，则${g^'}（x）={e^2}-\frac{1}{x}=\frac{{{e^2}x-1}}{x}$，
令g′（x）=0，得$x=\frac{1}{e^2}$，当$x∈（0，\frac{1}{e^2}）$时，g′（x）＜0，
当$x∈（\frac{1}{e^2}，e）$时，g′（x）＞0，
∴当$x=\frac{1}{e^2}$时，g（x）取得最小值，$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{e^2}）=3$．
证明：（3）令$φ（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，则$φ'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，令φ'（x）=0，得x=e．
当0＜x≤e时，φ'（x）≥0，h（x）在（0，e]上单调递增，
∴$φ{（x）_{max}}=φ（e）=\frac{1}{e}+\frac{5}{2}＜\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$，
所以${e^2}x-lnx＞\frac{lnx}{x}+\frac{5}{2}$，${e^2}x-lnx-\frac{lnx}{x}＞\frac{5}{2}$…（12分）

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最小值的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．