Question

17．已知函数f（x）=e^x-x-1（e是自然对数的底数）．
（1）求证：e^x≥x+1；
（2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要证e^x≥x+1，只需证f（x）=e^x-x-1≥0，求导得f′（x）=e^x-1，利用导数性质能证明e^x≥x+1．
（2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，即a＜$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}，2$]，利用导数性质求g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）由题意知，要证e^x≥x+1，只需证f（x）=e^x-x-1≥0，
求导得f′（x）=e^x-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）=e^x-1＞0，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）=e^x-1＜0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函数，在x∈（-∞，0）时是减函数，
即f（x）在x=0时取最小值f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，即f（x）=e^x-x-1≥0，
∴e^x≥x+1．…（6分）
（2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，即e^x-x-1＞ax-1在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上恒成立，
亦即a＜$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}，2$]，
以下求g（x）=$\frac{{e}^{x}-x}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}，2$]上的最小值，
${g}^{'}（x）=\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，当x∈[$\frac{1}{2}，1$]时，g′（x）＜0，
当x∈[$\frac{1}{2}，1$]时，g′（x）＞0，
∴当x∈[$\frac{1}{2}，1$]时，g（x）单调递减，当x∈[$\frac{1}{2}，1$]时，g（x）单调递增，
∴g（x）在x=1处取得最小值为g（1）=e-1，
∴正数a的取值范围是（0，e-1）．…（12分）

点评 本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．