Question

5．已知函数f（x）=x²+mx-lnx．
（Ⅰ）当m=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，g（x）≥3，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），代入切线方程即可
（Ⅱ）法一：问题转化为$m≥\frac{3+lnx}{x}$对x∈（0，e]恒成立．设$h（x）=\frac{3+lnx}{x}\;\;\;（0＜x≤e）$，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可；
法二：求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=0时，f（x）=x²-lnx，
∴$f'（x）=2x-\frac{1}{x}$，∴k=f'（1）=1，又f（1）=1
∴切线方程为y=x       …（4分）
（Ⅱ）（方法一）
当x∈（0，e]时，g（x）=mx-lnx≥3，即$m≥\frac{3+lnx}{x}$对x∈（0，e]恒成立．
设$h（x）=\frac{3+lnx}{x}\;\;\;（0＜x≤e）$，则$h'（x）=\frac{-2-lnx}{x}$
当$0＜x＜\frac{1}{e^2}$时，h'（x）＞0；当$\frac{1}{e^2}＜x＜e$时，h'（x）＜0
∴h（x）的增区间为$（0，\frac{1}{e^2}）$，减区间为$（\frac{1}{e^2}，e）$
∴$h{（x）_{max}}=h（\frac{1}{e^2}）={e^2}$
∴m≥e²． …（12分）
（方法二）g（x）=mx-lnx（0＜x≤e），则$g'（x）=m-\frac{1}{x}$
当x∈（0，e]时，$\frac{1}{x}≥\frac{1}{e}$
①$m≤\frac{1}{e}$时，g'（x）≤0，∴g（x）在（0，e]单调递减
∴g（x）_min=g（e）=em-1≤0矛盾，（舍）
②$m＞\frac{1}{e}$时，
当$0＜x＜\frac{1}{m}$时，g'（x）＜0；当$\frac{1}{m}＜x＜e$时，g'（x）＞0
∴g（x）在$（0，\frac{1}{m}）$单调递减，$（\frac{1}{m}，e）$单调递增
∴$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{m}）=1+lnm≥3$，解得m≥e²
综上，实数m的取值范围为[e²，+∞）． …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．