Question

16．设函数f（x）=e^x-eⁿx+（n-1）eⁿ+ax²．n∈N，
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：e^x≥eⁿ（x-n+1）；
（Ⅲ）当n=0时，若f（x）≥0对于任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a的值代入f（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而证出结论；
（Ⅲ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调性，从而确定a的具体范围．

解答 若?x₁，x₂∈R使得f（x₁）≤g（x₁）成立，（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=e^x-eⁿx+（n-1）eⁿ，f′（x）=e^x-eⁿ，
当x∈（-∞，n）时，f′（x）＜0；当x∈（n，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，n），f（x）的单调递增区间为（n，+∞）；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，若a=0，则当x=n时，f（x）取得极小值，即最小值，
∴f（x）_min=f（n）=0，即f（x）≥0，
∴e^x≥eⁿ（x-n+1），当且仅当x=n时等号成立；
解：（Ⅲ）当n=0时，f（x）=e^x-x-1+ax²，f′（x）=e^x-1+2ax，
由（Ⅱ）知e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．
∴f′（x）≥x+2ax=（1+2a）x，
∴当1+2a≥0，即a≥-$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0（x≥0），f（x）单调递增，而f（0）=0，
∴当x≥0时，f（x）≥0，
又由e^x＞1+x（x≠0），可得e^-x＞1-x（x≠0），即-x＜e^-x-1，（x≠0），
∴当a＜-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜e^x-1-2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x+2a），
∴当x∈（0，ln（-2a））时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
而f（0）=0，此时f（x）＜0，
综上可得，实数a的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．