Question

6．对于曲线C：$\frac{x^2}{4-k}$+$\frac{y^2}{k-1}$=1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；    
②若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
③当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜$\frac{5}{2}$．
其中所有正确命题的序号为②④．

Answer 1

分析 根据曲线方程的特点，结合椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可．

解答 解：①当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线表示椭圆，所以①错误；
②若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，解得k＜1或k＞4，正确；
③当k=2.5时，4-k=k-1，此时曲线表示圆，所以③错误；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{4-k＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，解得1＜k＜2.5，所以④正确．
故答案为：②④．

点评 本题主要考查圆锥曲线的方程，根据椭圆和双曲线的标准方程和定义是解决本题的关键．