Question

14．已知函数f（x）=2ax²+bx+1（e为自然对数的底数）．
（1）函数F（x）=f（x）e^x在点（-2，F（-2））处的切线方程为y=$\frac{1}{{e}^{2}}$（x+2），求a，b的值；
（2）若b=e-1-2a，方程f（x）=x^x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数F（x）=f（x）e^x在点（-2，F（-2））处的切线方程为y=$\frac{1}{{e}^{2}}$（x+2），建立方程，即可求出a，b；
（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）若F（x）=（2ax²+bx+1）e^x，
则F′（x）=（4ax+b）e^x+（2ax²+bx+1）e^x=[2ax²+（b+4a）x+b+1]e^x，
∵函数F（x）=f（x）e^x在点（-2，F（-2））处的切线方程为y=$\frac{1}{{e}^{2}}$（x+2），
∴F′（-2）=[8a+（b+4a）（-2）+b+1]e^-2=$\frac{1}{{e}^{2}}$，F（-2）=（8a-2b+1）e²=0
∴a=-$\frac{1}{8}$，b=0．
（2）方程f（x）=e^x在（0，1）内有解，即2ax²+bx+1=e^x在（0，1）内有解，
即e^x-2ax²-bx-1=0，
设g（x）=e^x-2ax²-bx-1，
则g（x）在（0，1）内有零点，
设x₀是g（x）在（0，1）内的一个零点，
则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，
设h（x）=g′（x），
则h（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上存在零点，
即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，
g′（x）=e^x-4ax-b，h′（x）=e^x-4a，
当a≤$\frac{1}{4}$时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，
当a≥$\frac{e}{4}$时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，
当$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），
则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．
若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，
h（ln（4a））=4a-4aln（4a）-b=6a-4aln（4a）+1-e，$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$，
设φ（x）=$\frac{3}{2}$x-xlnx+1-x，（1＜x＜e），
则φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx，
令φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx=0，得x=$\sqrt{e}$，
当1＜x＜$\sqrt{e}$时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，
当$\sqrt{e}$＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，
则φ（x）_max=φ（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$+1-e＜0，
则h（ln（4a））＜0恒成立，
由h（0）=1-b=2a-e+2＞0，h（1）=e-4a-b＞0，
得$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
当$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，设h（x）的两个零点为x₁，x₂，则g（x）在（0，x₁）递增，
在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，1）递增，
则g（x₁）＞g（0）=0，
g（x₂）＜g（1）=0，
则g（x）在（x₁，x₂）内有零点，
综上，实数a的取值范围是（$\frac{e-2}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识，考查运算能力、推理论证能力，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．属于中档题．