Question

19．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，x＞0\\{x^2}+4x+1，x≤0\end{array}\right.$，若关于x的方程 f²（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则$\frac{c-2}{b-1}$的取值范围为（-∞，-1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 题中原方程f²（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．

解答 解：根据题意作出f（x）的简图：

由图象可得当f（x）∈（0，1]时，有四个不同的x与f（x）对应．
再结合题中“方程f²（x）-bf（x）+c=0有8个不同实数解”，
可以分解为形如关于k的方程k²-bk+c=0有两个不同的实数根K₁、K₂，
且K₁和K₂均为大于0且小于等于1的实数，
列式如下：$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4c＞0}\\{0＜\frac{b}{2}＜1}\\{{0}^{2}-b×0+c＞0}\\{{1}^{2}-b+c≥0}\end{array}\right.$，化简得 $\left\{\begin{array}{l}{c＜\frac{{b}^{2}}{4}}\\{1-b+c≥0}\\{c＞0}\\{0＜b＜2}\end{array}\right.$，
此不等式组表示的区域如图：

而$\frac{c-2}{b-1}$几何意义表示平面区域内的点和（1，2）的直线的斜率，
结合图象K_OA=2，K_AB=-1，
故z＞2或z＜-1，
故答案为：（-∞，-1]∪[2，+∞）．

点评 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．