Question

20．已知f（x）=ln（1-x）+ax²+x
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，试判断f（x）的单调性．
（2）当a＞0时，?x∈（0，1），f（x）＜0成立，求a的取值范围．
（3）求证：ln（1+n）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）＞1-$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{2}$时，$f（x）=ln（1-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x$，求导数，判断导数小于0，即可判断f（x）的单调性．
（2）求导数，分类讨论，判断函数的单调性，?x∈（0，1），f（x）＜0成立，求a的取值范围．
（3）证明$ln（\frac{n+1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$，利用叠加法，即可证明结论．

解答 （1）解：定义域为（-∞，1）
当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=ln（1-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x$
所以$f'（x）=\frac{-1}{1-x}+x+1=\frac{{-1+（x-{x^2}）+1-x}}{1-x}$=$\frac{{-{x^2}}}{1-x}$＜0
所以f（x）在（-∞，1）单调递减；
（2）解：f（x）=ln（1-x）+ax²+x定义域为（-∞，1）．
$f'（x）=\frac{-1}{1-x}+2ax+1=\frac{{-1+2a（x-{x^2}）+1-x}}{1-x}$=$\frac{{（2a-1）x-2a{x^2}}}{1-x}$=$\frac{{2a{x^2}-（2a-1）x}}{x-1}$
  令f'（x）=0得x=0或$x=\frac{2a-1}{2a}=1-\frac{1}{2a}$，
∵a＞0，∴$x=1-\frac{1}{2a}＜1$
若$1-\frac{1}{2a}＞0$时，当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
当$x∈（0，1-\frac{1}{2a}）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
当$x∈（1-\frac{1}{2a}，1）$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
而f（0）=0，所以$f（1-\frac{1}{2a}）$＞f（0）=0，所以不成立
若$1-\frac{1}{2a}=0$时，即$a=\frac{1}{2}$时，由（1）得f（x）在（-∞，1）单调递减．
所以f（x）＜f（0）=0对?x∈（0，1）成立
若$1-\frac{1}{2a}＜0$时，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，当$x∈（-∞，1-\frac{1}{2a}）$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
当$x∈（1-\frac{1}{2a}，0）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）＜f（0）=0对?x∈（0，1）成立．综上所述：$0＜a≤\frac{1}{2}$
（3）证明：$a=\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，0）单调递减，所以f（x）＞f（0）=0对x∈（-∞，0）成立
即$ln（1-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x＞0$
所以$ln（1-x）+x＞-\frac{1}{2}{x^2}$
令$x=-\frac{1}{n}$得$ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$n∈N^*
即$ln（\frac{n+1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$
所以$ln（\frac{2}{1}）-\frac{1}{1}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{1^2}$，$ln（\frac{3}{2}）-\frac{1}{2}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{2^2}$，$ln（\frac{4}{3}）-\frac{1}{3}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{3^2}$，
…$ln（\frac{n+1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$
以上n个式子累加得$ln（1+n）-（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）＞-\frac{1}{2}（\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{n^2}）$
＞$-\frac{1}{2}$（$1+\frac{1}{2•1}+\frac{1}{3•2}…+\frac{1}{n•（n-1）}$）=$-\frac{1}{2}（1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$1-\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．