Question

5．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（1）试求向量$2\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的模；
（2）试求向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标表示与运算法则，计算（1）$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$，再求2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的模长；
（2）利用数量积的定义求出向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦值，利用反三角函数写出对应的角．

解答 解：由A（1，0），B（0，1），C（2，5）得：
（1）$\overrightarrow{AB}$=（-1，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，5），
∴2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（-1，5）
∴|2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+5}^{2}}$=$\sqrt{26}$；
（2）|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+5}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1×1+1×5=4，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4}{\sqrt{2}×\sqrt{26}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为arccos$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了求向量的夹角与模长问题，是基础题目．