Question

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈A，计算出x₁=f（x）；
②若x∉A，则数列发生器结束工作；
若x∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N^*）．
（1）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}；
（2）若，记（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在得条件下，证明（m∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N^*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故对任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列；
（2）易证{b_n}是以为首项，以为公比的等比数列，从而求出，从而求出a_n=+1；
（3）要证，即证，只需证，当m∈N^*时，利用二项式定理以及放缩法证明不等式即可．
解答：解：（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N^*，可知m+1-x＞0，
∴
又
∴
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故对任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，
 由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，
  x₂∈A 有x₃=f（x₂）∈A；
以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列
（2）由x_n+1=f（x_n）=，可得，
∴，
即．
令b_n=a_n-1，则，
又，
所以{b_n}是以为首项，以为公比的等比数列．
，即a_n=+1      
（3）要证，即证，只需证，
当m∈N^*时，
有=++…+≥2，
因为，当k≥2 时，
由．
所以，当m≥2时=++…+，
＜1+1+（1-）+（-）+…（-）=3-＜3
又当m=1时，，
所以对于任意m∈N^*，都有
所以对于任意m∈N^*，都有证．
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及无穷数列的证明和二项式定理证明不等式，属于难题．