Question

11．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+1}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入函数的表达式，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）所求问题转化为a（x₁-x₂）＞$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，从而得到a＜$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，从而求出a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{x2+2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+2，
∵x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，取得等号，
∴f（x）的最小值为f（1）=2+2=4．
（2）∵f（x）在此区间内是减函数，所以对于任意满足1≤x₁＜x₂的x₁，x₂，
都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
即：$\frac{{{ax}_{1}}^{2}+{2x}_{1}++1}{{x}_{1}}$＞$\frac{{{ax}_{2}}^{2}+{2x}_{2}+1}{{x}_{2}}$对x₁，x₂恒成立，
整理，得a（x₁-x₂）＞$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
∵x₁-x₂＜0，∴a＜$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，∵1≤x₁＜x₂，∴0＜$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜1，
所以a≤0，即所求实数a的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查基本不等式性质的应用，是一道中档题．