Question

17．已知函数f（x）=aln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，其中a为非零实数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若y=f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）所证问题转化为（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（a-1）}{x+1}$，x＞1，
当a-1≥0即a≥1时f′（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）递增，
当0＜a＜1时，由f′（x）=0，
∴x₁=-$\sqrt{1-a}$＞-1，x₂=$\sqrt{1-a}$，
∴f（x）在（-1，-$\sqrt{1-a}$）递增，在（-$\sqrt{1-a}$，$\sqrt{1-a}$）递减，在（$\sqrt{1-a}$，+∞）递增，
当a＜0时，∵x₁＜-1，∴f（x）在（-1，$\sqrt{1-a}$）递减，在（$\sqrt{1-a}$，+∞）递增；
（2）证明：∵0＜a＜1且x₁=-$\sqrt{1-a}$，x₂=$\sqrt{1-a}$，
∴x₁+x₂=0，x₁x₂=a-1且x₂∈（0，1），
$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{1}{2}$?$\frac{f{（x}_{2}）}{{-x}_{2}}$＜$\frac{1}{2}$?f（x₂）+$\frac{1}{2}$x₂＞0
?aln（x₂+1）+$\frac{1}{2}$${{x}_{2}}^{2}$-$\frac{1}{2}$x₂＞0
?（1+x₂）ln（x₂+1）-$\frac{1}{2}$x₂＞0，
令g（x）=（1+x）ln（x+1）-$\frac{1}{2}$x，x∈（0，1），
∵g′（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{2}$＞0，
∴g（x）在（0，1）递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴命题得证．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．