Question

7．求证：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2（$\sqrt{n+1}$-1）．

Answer 1

分析 不等式右边有个2，所以将不等式左边提取2变成：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{n}}$）＞2（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$）=2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=2（$\sqrt{n+1}$-1）．

解答 证明：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$=2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{n}}$）＞2（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$）
=2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=2（$\sqrt{n+1}$-1）．
∴1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2（$\sqrt{n+1}$-1）．

点评 考查放缩法证明不等式的方法，想着用放缩法的原因是：不等式右边是2（$\sqrt{n+1}$-1），所以不等式左边提取2，并想法消去中间项，这样便可以想着用放缩法．