Question

14．函数y=cos2x+3sinx的值域是（　　）

• A． $[{-4，\frac{17}{8}}]$
• B． $（-∞，-4）∪（\frac{17}{8}，+∞）$
• C． [-4，4]
• D． （-∞，-4）∪（4，+∞）

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦公式，求得y-2•${（sinx-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{17}{8}$，再利用二次函数的性质，正弦函数的值域，求得y的范围．

解答 解：函数y=cos2x+3sinx=1-2sin²x+3sinx=-2•${（sinx-\frac{3}{4}）}^{2}$+$\frac{17}{8}$，
∴当  sinx=$\frac{3}{4}$ 时函数y取得最大值为$\frac{17}{8}$，当 sinx=-1时，函数y取得最小值为-4，∴y∈[-4，$\frac{17}{8}$]，
故选：A．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式，二次函数的性质，正弦函数的值域，属于基础题．