Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=AA₁=2，∠BAC=60°．
（1）证明：A₁C⊥B₁C₁；
（2）求点B₁到平面A₁BC的距离；
（3）求二面角C₁-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证A₁C⊥B₁C₁，即证线面垂直，为了要证明线面垂直，即要证线线垂直，其中利用勾股定理证明AC⊥BC即可；
（2）利用空间向量的坐标法求解，先建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用点B₁到平面A₁BC的距离公式求解；
（3）先求出平面A₁BC₁的一个法向量，再利用两个向量的夹角公式求解二面角C₁-A₁B-C的大小即可．

解答：证明：（1）在△ABC中，BC²=16+4-2×4×2×cos60⁰=12，（2分）
∵AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，
∵A₁A⊥平面ABC，
∴A₁C⊥BC，
∵B₁C₁∥BC，
∴A₁C⊥B₁C₁．（4分）

（2）由（1）知，AC⊥BC．建立如图直角坐标系，
则A₁（2，0，2），B(0 ， 2

3

 ， 0)B1(0 ， 2

3

 ， 2)
易求得，平面A₁BC的一个法向量

n

=(1 ， 0 ， -1)，
∴点B₁到平面A₁BC的距离d=

| BB1 • n |

| n |

=

2

．（8分）
（3）可求得平面A₁BC₁的一个法向量

m

=(0 ， 1 ， 

3

)，cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

6

4

，
∴二面角C₁-A₁B-C的大小是arccos

6

4

．（12分）

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．