Question

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b，
（1）若f（x）＜0的解集是（-5，2），求a，b的值；
（2）若a=b，解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

解：（1）由题意得，-5，2是方程x²-（a+1）x+b=0的两根，
所以-5+2=a+1，-5×2=b，解得a=-4，b=-10．
（2）当a=b时，f（x）＞0即x²-（a+1）x+a＞0，
也即（x-a）（x-1）＞0，
①当a＞1时，由f（x）＞0可得x＜1或x＞a；
②当a=1时，由f（x）＞0可得x≠1；
③当a＜1时，由f（x）＞0可得x＜a或x＞1；
综上，当a＞1时，f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞a}；当a=1时，f（x）＞0的解集为{x|x≠1}；
当a＜1时，f（x）＞0的解集为{x|x＜a或x＞a}．
分析：（1）由f（x）＜0的解集是（-5，2）知-5，2是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；
（2）把b替换下a，然后按照f（x）=0的两根大小关系分类讨论即可．
点评：本题考查二次函数、二次方程、二次不等式间的关系，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键．