Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,对一切n∈N^*,点(n,S_n)在函数f(x)=x²+x的图象上.

(1)求a_n的表达式.

(2)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁),(a₂,a₃),(a₄,a₅,a₆),(a₇,a₈,a₉,a₁₀);(a₁₁),(a ₁₂,a₁₃),(a₁₄,a₁₅,a₁₆),(a₁₇,a₁₈,a₁₉,a₂₀);(a₂₁),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n},求b₅+b₁₀₀的值.

(3)设A_n为数列{}的前n项积,是否存在实数a,使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)因为点(n,S_n)在函数f(x)=x²+x的图象上,所以S_n=n²+n.

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=n²+n-［(n-1)²+(n-1)］=2n.

当n=1时,a₁=S₁=2,满足a_n=2n.

所以a_n=2n(n∈N^*).

(2)因为a_n=2n(n∈N^*),所以数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….将每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号,故b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和.

    由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列,且公差为20.

    同理,由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列,且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68,所以b₁₀₀=68+24×80=1 988.

又b₅=22,所以b₅+b₁₀₀=2 010.

(3)因为=1,

故A_n=(1)(1)·…·(1),

所以A_n=(1)(1)·…·(1).

又A_n＜a对一切n∈N^*都成立,即

(1)(1)·…·(1)2n+1＜a对一切n∈N^*都成立.

设g(n)=(1)(1)·…·(1)2n+1,则只需［g(n)］_max＜a即可.

由于=(1)·=·=＜1,

所以g(n+1)＜g(n),故g(n)单调递减.

于是［g(n)］_max=g(1)=.

令＜a,即＞0,解得＜a＜0或a＞.

综上所述,使得所给不等式对一切n∈N^*都成立的实数a存在,a的取值范围是(,0)∪(,+∞).