Question

8．设全集U，对集合A，定义函数f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$，那么对于集合A，B下列说法不正确的是（　　）
①?x∈U，都有f_A（x）=-f${\;}_{{∁}_{U}A}$（x）；
②若A⊆B，则?x∈U，都有f_A（x）≥f_B（x）；
③?x∈U，都有f_A∩B（x）≤f_A（x）•f_B（x）；
④?x∈U，都有f_A∩B（x）+f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x）．

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 根据题中特征函数的定义，利用集合的交集、并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，由此得到本题答案．

解答 解：对于①，∵f_∁UA（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈{∁}_{U}A}\\{-1．x∈A}\end{array}\right.$，
结合f_A（x）的表达式，可得f_∁UA（x）=-f_A（x），故①正确；
对于②∵f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$，那么f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{-1，x∈{∁}_{U}B}\end{array}\right.$，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即对于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故②不正确；
对于③，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{-1，x∈{∁}_{U}B}\end{array}\right.$≤f_A（x）•f_B（x），故③正确；
对于D，f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∪B）}\end{array}\right.$，
∴f_A∩B（x）+f_A∪B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∩B）}\end{array}\right.$+$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∪B}\\{-1，x∈{∁}_{U}（A∪B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{-1，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$+$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{-1，x∈{∁}_{U}B}\end{array}\right.$=f（A）+f（B），
由此可得④正确．
故选：B

点评 本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．