Question

2．在△ABC中，AB=4，BC=6$\sqrt{2}$，∠CBA=$\frac{π}{4}$，．若双曲线Γ以AB为实轴，且过点C，则Γ的焦距为8．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出C的坐标，代入双曲线方程求得b²的值，再结合隐含条件得答案．

解答 解：如图，设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，
则由题意，2a=4，a=2，
在△ABC中，AB=4，BC=6$\sqrt{2}$，∠CBA=$\frac{π}{4}$，
∴C的横坐标为-（$\frac{\sqrt{2}}{2}BC$-2）=-4，纵坐标为$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=6$．
∵双曲线过点C，
则$\frac{16}{4}-\frac{36}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=12，
∴c²=a²+b²=16，c=4．
则Γ的焦距为8．
故答案为：8．

点评 本题考查双曲线的定义，考查了双曲线的简单性质，是中档题．