Question

14．已知0＜a＜1，且函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点的横坐标为x₀．
（1）求sin2x₀的取值范围；
（2）是否存在实数t，当0＜x＜x₀，不等式5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象判断x₀的范围得出2x₀的范围，再根据正弦函数的图象的对称性讨论sin2x₀的最值；
（2）当0＜x＜x₀时，对数函数大于指数函数，将不等式移项后得5ta^x＞（3t-4）log_ax，故两系数前正后负，列不等式解出t的范围．

解答 解：（1）分别作函数y=a^x及y=log_ax的图象如图，设它们的交点为P（x₀，y₀），显然x₀＜1，y₀＜1，
而y₀=log_ax₀＜1=log_aa，又0＜a＜1，∴x₀＞a，即a＜x₀＜1．∴2a＜2x₀＜2．
若π-2a≥2，即0＜a≤$\frac{π}{2}-1$时，sin2a≤sin2x₀≤1，
若π-2a＜2，即$\frac{π}{2}-1$＜a＜1时，sin2≤sin2x₀≤1．
（2）当0＜x＜x₀时，log_ax＞a^x＞0，
假设存在符合条件的t，使得5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立，则5ta^x＞（3t-4）log_ax恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5t≥0}\\{3t-4≤0}\end{array}\right.$，解得0≤t≤$\frac{4}{3}$．
∴t的范围是[0，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质，函数恒成立问题，属于中档题．