Question

19．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，P为边AB上的一点，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$．
（Ⅰ）若λ=3，试用$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$表示$\overrightarrow{CP}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{CA}$|=4，|$\overrightarrow{CB}$|=3，且$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=-6，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）λ=3时便得到$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$，从而有$\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA}=3（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}）$，然后进行向量的数乘运算便可用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$表示出$\overrightarrow{CP}$；
（Ⅱ）可分别以CA，CB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，从而得出点A，B的坐标，这便可求出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{AB}$的坐标，而由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$即可用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$表示出$\overrightarrow{CP}$，从而得出$\overrightarrow{CP}$的坐标，这样由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}=-6$进行数量积的坐标运算便可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）λ=3；
∴$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$；
∴$\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA}=3（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}）$；
∴$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}$；
（Ⅱ）以直线CA为x轴，直线CB为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则：A（4，0），B（0，3）；
∴$\overrightarrow{CA}=（4，0），\overrightarrow{CB}=（0，3）$，$\overrightarrow{AB}$=（-4，3）；
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，得$\overrightarrow{CP}$-$\overrightarrow{CA}$=λ（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CP}$）；
∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{λ+1}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{CB}$=$（\frac{4}{λ+1}，\frac{3λ}{λ+1}）$；
又∵$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$=-6；
∴$\frac{4}{λ+1}$•（-4）+$\frac{3λ}{λ+1}•3=-6$；
解得λ=$\frac{2}{3}$．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，以及向量坐标的数乘运算和数量积的运算．