Question

3．设函数f（x）=x²-ax+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围
（Ⅱ）对任意x∈[-1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的对称轴，解关于a的不等式即可；
（Ⅱ）方法1：问题转化为4x²-4ax+（a+1）²对任意x∈[-1，1]恒成立，记g（x）=4x²-4ax+（a+1）²，x∈[-1，1]，通过讨论对称轴的位置，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；方法2：根据集合的包含关系判断即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）在[0，1]上不单调，
∴0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2；
（Ⅱ）解法1：由已知，对任意的实数x∈[-1，1]．，
关于y的方程f（y）=f（x）+y有解，
即对任意的实数x∈[-1，1]关于y的方程y²-（a+1）y-（x²-ax）=0有解，
∴△₁=（a+1）²+4（x²-ax）≥0，对任意x∈[-1，1]恒成立，
即4x²-4ax+（a+1）²对任意x∈[-1，1]恒成立，
记g（x）=4x²-4ax+（a+1）²，x∈[-1，1]，
①当$\frac{a}{2}$≤-1时，g（x）_min=g（-1）=a²+6a+5≥0，故a≤-5，
②当-1＜$\frac{a}{2}$＜1时，△₂=16a²-16（a+1）²≤0，故-$\frac{1}{2}$≤a＜2，
③当$\frac{a}{2}$≥1时，g（x）_min=g（1）=a²-2a+5≥0，故a≥2，
综上，a的范围是a≤-5或a≥-$\frac{1}{2}$；
解法2：即对任意的实数x∈[-1，1]关于y的方程f（y）=f（x）+y有有解，
即对任意的实数x∈[-1，1]，都存在关于y的方程y²-（a+1）y=x²-ax成立，
记A={z|z=y²-（a+1）y，y∈R}=[-$\frac{{（a+1）}^{2}}{4}$，+∞）；
B={z|z=-x²-ax，x∈[-1，1]}，即A?B，
记g（x）=x²-ax，x∈[-1，1]，
①当$\frac{a}{2}$≤-1时，B=[1+a，1-a]，由A?B得-$\frac{{（a+1）}^{2}}{4}$≤1+a，
化简得：a≤-5，
②当-1＜$\frac{a}{2}$＜1时，B=[-$\frac{{a}^{2}}{4}$，max{1+a，1-a}]，
由A?B得-$\frac{{（a+1）}^{2}}{4}$≤-$\frac{{a}^{2}}{4}$，化简得-$\frac{1}{2}$≤a＜2，
③当$\frac{a}{2}$≥1时，B=[1-a，1+a]，由A?B得-$\frac{{（a+1）}^{2}}{4}$≤1-a，化简得a≥2，
综上，a≤-5或a≥-$\frac{1}{2}$，
故a的范围是（-∞，-5]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性、最值、函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题．