Question

如图，已知抛物线x²=4y上两定点A、B分别在对称轴左、右两侧，F为抛物线的焦点，且|AF|=2，|BF|=5．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若抛物线在点P处的切线平行于直线AB，求P点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的定义，可求A、B两点的坐标；
（2）利用抛物线在点P处的切线平行于直线AB，结合导数知识，即可求P点的坐标．

解答： 解：（1）∵x²=4y，∴p=2，
∵|AF|=2，|BF|=5，
∴A（-2，1），B（4，4）；
（2）由（1）知k_AB=

1

2

，
x²=4y，可得y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∵抛物线在点P处的切线平行于直线AB，
∴

1

2

x=

1

2

，∴x=1，
∴P（1，

1

4

）．

点评：本题考查抛物线的定义、导数知识，考查学生的计算能力，比较基础．