Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x-4|．
（1）求不等式f（x）＜2的解集．
（2）若关于x的不等式f（x）＜2 3a2-7a+4的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式为|x-3|+|x-4|＜2，分类讨论，去掉绝对值，求得不等式的解集．
（2）根据绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为1，可得当3a²-7a+4≤0时，关于x的不等式f(x)＜23a2-7a+4的解集为空集，由此求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，原不等式为|x-3|+|x-4|＜2，当x＜3时，原不等式为7-2x＜2，解得x＞

5

2

，∴

5

2

＜x＜3．
当3≤x≤4时，原不等式为1＜2，∴3≤x≤4．
当x＞4时，原不等式为2x-7＜2，解得x＜

9

2

，∴4＜x＜

9

2

．
综上，原不等式的解集为{x|

5

2

＜x＜

9

2

}．
（2）∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，故f（x）的最小值为1，
∴当3a²-7a+4≤0时，2 3a2-7a+4＜1，故关于x的不等式f(x)＜23a2-7a+4的解集为空集．
解得：1≤a≤

4

3

，∴实数a的取值范围是[1，

4

3

]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．