Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断a_p，a_q，a_r是否成等比数列？并说明理由．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：等差数列与等比数列,推理和证明

分析：（1）利用已知条件通过n=1，2，3，直接计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．
（2）p，q，r成等差数列⇒p+r=2q，假设a_p，a_q，a_r成等比数列，可由a_p•a_r=a_q²⇒2^p+2^r=2×2^q．（*）利用基本不等式 可得2^p+2^r＞2

2p×2q

=2×2^q，这与（*）式矛盾，从而可得a_p，a_q，a_r不是等比数列．

解答： 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
可得，n=1时，a₂=2+1=3；
n=2时，a₃=6+1=7；
n=3时，a₄=14+1=15．…（3分）
…
由此猜想 a_n=2ⁿ-1．…（4分）
证明：①当n=1时，由已知，a₁=2¹-1=1，满足条件．
…（6分）
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=2^k-1．…（7分）
则n=k+1时，
a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1．
所以 当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N^*都成立．…（9分）
（2）解：∵p，q，r成等差数列，
∴p+r=2q．
假设a_p，a_q，a_r成等比数列，
则a_p•a_r=a_q²，…（10分）
即（2^p-1）（2^r-1）=（2^q-1）²，
化简得：2^p+2^r=2×2^q．（*）        …（11分）
∵p≠r，
∴2^p+2^r＞2

2p×2q

=2×2^q，
这与（*）式矛盾，故假设不成立．…（13分）
∴a_p，a_q，a_r不是等比数列．…（14分）

点评：本题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于难题．