Question

求证：
（Ⅰ）a²+b²≥

(a+b)2

2

；       
（Ⅱ）a²+b²≥2（a-b-1）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用,不等式

分析：本题（Ⅰ）可用作差法证明，作差后进行因式分解易证；（Ⅱ）可用作差法证明，作差后进行配方易证．

解答： 解：（ I） (a2+b2)-

(a+b)2

2

=-

2(a2+b2)-(a2+2ab+b2)

2

=

a2-2ab+b2

2

=

(a-b)2

2

，
∵（a-b）²≥0，
∴

(a-b)2

2

≥0，
即(a2+b2)-

(a+b)2

2

≥0，
∴a2+b2≥

(a+b)2

2

．
（II） （a²+b²）-2（a-b-1）=（a²-2a+1）+（b²+2b+1）=（a-1）²+（b+1）²，
∵（a-1）²≥0，（b+1）²≥0，∴（a-1）²+（b+1）²≥0，即（a²+b²）-2（a-b-1）≥0，
∴a²+b²≥2（a-b-1）．

点评：本题考查的是不等式证明，主要考查作差法，作差后可以因式分解，也可以配方．本题属于基础题．