Question

（文） 定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁．已知函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为

 

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Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：空间位置关系与距离

分析：根据题意可知当x≥0时，函数的定义域为[0，1]；当x≤0时，函数的定义域为[-1，0]．所以函数的定义域为[-1，1]此时长度为最大等于1-（-1）=2，而[0，1]或[-1，0]都可为区间的最小长度等于1，所以最大值与最小值的差为1．

解答： 解：当x≥0时，y=2^x，因为函数值域为[1，2]即1=2⁰≤2^x≤2=2¹，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；
当x≤0时，y=2^-x，因为函数值域为[1，2]即1=2⁰≤2^-x≤2=2¹，根据指数函数的增减性得到0≤-x≤1即-1≤x≤0．
故[a，b]的长度的最大值为1-（-1）=2，最小值为1-0=1或0-（-1）=1，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1
故答案为：1

点评：考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．