Question

【题目】已知函数f（x）= x2 ， g（x）=alnx．
（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1 ， x2 ， 都有 ＞2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x0 ， 使得f′（x0）+ ＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（x）﹣g（x）= x2﹣alnx的导数为x﹣ ，

曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，

由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，

解得a=﹣2；

（2）解：h（x）=f（x）+g（x）= x2+alnx，

对任意两个不等的正数x1，x2，都有 ＞2恒成立，即为

＞0，

令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，

由m′（x）=h′（x）﹣2=x+ ﹣2≥0恒成立，

可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，

则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）

（3）解：不等式f′（x0）+ ＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+ ＜alnx0﹣ ，

整理得x0﹣alnx0+ ＜0，设m（x）=x﹣alnx+ ，

则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．

对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣ ﹣ = = ，

因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．

①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．

②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，

令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），

可得 ＜ln（a+1）

考察式子 ＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立

③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞ ，

又因为e﹣1﹣ = ＜0，则a＞ ．

综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（ ，+∞）．

【解析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为 ＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+ ＜alnx0﹣ ，整理得x0﹣alnx0+ ＜0，设m（x）=x﹣alnx+ ，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（ ，+∞）．