Question

【题目】已知椭圆Γ： +y2=1（a＞1）的左焦点为F1 ， 右顶点为A1 ， 上顶点为B1 ， 过F1 ， A1 ， B1三点的圆P的圆心坐标为（ ， ）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k，m为常数，k≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M和N．
（i）当直线l过E（1，0），且 +2 = 时，求直线l的方程；
（ii）当坐标原点O到直线l的距离为 时，求△MON面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（1）椭圆Γ： +y2=1（a＞1）的左焦点为F1（﹣c，0）右顶点为A1（a，0）上顶点为B1（0，1），
由题意可知，圆心P在A1F1的中垂线上，即 = ，则a﹣c= ﹣ ，
由a2﹣c2=1，及（a+c）（a﹣c）=1，∴a+c= + ，
∴a= ，c= ，
∴椭圆的标准方程为： ；
（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），．
代入椭圆方程，整理得：（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，
由韦达定理可知：x1+x2= ，①x1x2= ，②
由 =（x1﹣1，y1）， =（x2﹣1，y2） ，
+2 = 时，则（x1﹣1，y1）+2（x2﹣1，y2）= ，则x1+2x2=3，③，
由①③，解得：x1= ，x2=
由②可知： = × ，
当3k2﹣3=0时，即k=±1，显然成立，
当3k2﹣3≠0，1+3k2≠0，则 =1，显然不成立，
综上可知：k=±1，
∴直线l的方程y=x﹣1或y=﹣x+1；
（ii）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．
由题意，设直线AB的方程为y=kx+m，
由坐标原点O到直线l的距离为 可得 ，化为m2= （k2+1）．
把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∴丨MN丨2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]
=（1+k2）[（﹣ ）2﹣4（ ）]= = ，
=3+ ，（k≠0），
=3+ ≤3+ =4，
当且仅当9k2= 时，即k=± 时，等号成立，此时丨MN丨=2，
由△MON面积S= ×丨MN丨× ，
= ×2× ，
= ，
∴△MON面积的最大值
【解析】（Ⅰ）由题可知：圆心P在A1F1的中垂线上，则a﹣c= ﹣ ，由椭圆的性质可知：a2﹣c2=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得x1及x2 ， 由x1x2= ，代入即可求得k的值，求得直线l的方程；（ii）将直线l的方程代入椭圆方程，由点到直线的距离公式求得m2= （k2+1），利用韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式及基本不等式的性质，求得△MON面积的最大值．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．