【题目】如图,正方体的棱长为2,
、
分别为棱
、
上的点,且与顶点不重合.
(1)若直线与
相交于点
,求证:
、
、
三点共线;
(2)若、
分别为
、
的中点.
(ⅰ)求证:几何体为棱台;
(ⅱ)求棱台的体积.
(附:棱台的体积公式,其中
、
分别为棱台上下底面积,
为棱台的高)
【答案】(1)证明见解析;(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)
【解析】
(1)由平面
,
平面
,平面
平面
,根据点在两个不重合的面内,则点在两个面的公共线上即可证出.
(2)(ⅰ)连,
、
分别为棱
、
的中点,证出四边形
为梯形,从而可得
与
相交,再由(1)可得直线
、
、
交于一点,由平面
平面
,即可证出.
(ⅱ)求出,
,以及棱台的高
,代入棱台的体积公式即可求解.
证明:(1),
,
,
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,
即点为平面
与平面
的公共点.
又平面
平面
,
,即
、
、
三点共线.
(2)(ⅰ)连,
、
分别为棱
、
的中点,
为
的中位线,
,
,
,
,
四边形
为平行四边形.
,
,
,
,
四边形
为梯形,
与
相交.
由(1)知:直线、
、
交于一点,
又平面
平面
,
几何体
为三棱台.
(ⅱ)由题意:,
,
,
,
即棱台的体积是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角,向量=(sin A,sin B),
=(cos B,cos A),且
=sin 2C.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且,求边c的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,所有棱长均相等,且AA1⊥平面ABC,点D、E、F分别为所在棱的中点.
(1)求证:EF∥平面CDB1;
(2)求异面直线EF与BC所成角的余弦值;
(3)求二面角B1﹣CD﹣B的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(2017·衢州调研)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影,N是PC的中点.
(1)求证:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
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