Question

已知函数y=x³+ax²-5x+b在x=-1处取得极值2．
（I）求实数a和b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）先求函数f（x）的导函数，再根据函数f（x）在x=-1处取得极值2得到，解方程即可；
（Ⅱ）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．

解答：解：（1）由于f'（x）=3x²+2ax-5
而函数y=x³+ax²-5x+b在x=-1处取得极值2，则f'（-1）=0，f（-1）=2
即

3-2a-5=0 -1+a+5+b=2

解得

a=-1 b=-1

故实数a和b都为-1；
（2）由于f′（x）=3x²+2ax-5=（3x-5）（x+1）
若令f′（x）＞0，则x＜-1或x＞

5

3

；若令f′（x）＜0，则-1＜x＜

5

3

．
故f（x）的单调递增区间为：（-∞，-1），（

5

3

，+∞）；f（x）的单调递减区间为：（-1，

5

3

）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件，属于基础题．