Question

2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的值；
（2）若c=4，a+b=7，求S_△ABC的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理与和差化积即可得出．
（2）利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵acosB+bcosA=2ccosC，由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC．
∴sinC=sin（A+B）=2sinCcosC，
∵sinC≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
即${4^2}={（a+b）^2}-2ab-2abcos\frac{π}{3}$，
∴ab=11，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×11×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{11\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．