Question

11．若ab＜0且a+b=1，二项式（a+b）⁹按a的降幂排列，展开后其第二项不大于第三项，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意T₂≤T₃，得出${C}_{9}^{1}$•a⁸•b≤${C}_{9}^{2}$•a⁷•b²（*），再由ab＜0且a+b=1，三式联立即可求出a的取值范围．

解答 解：根据题意，T₂≤T₃，
∴${C}_{9}^{1}$•a⁸•b≤${C}_{9}^{2}$•a⁷•b²；    （2分）
即9a⁸b≤36a⁷b（*），
又ab＜0，a+b=1，
∴a（1-a）＜0，
解得a＜0或a＞1；（3分）
∴（*）化为a⁷（1-a）[a-4（1-a）]≤0，
∴a⁷（1-a）（5a-4）≤0；  （2分）
又∵a（1-a）＜0，
∴5a-4≥0，
解得a≥$\frac{4}{5}$；
综上，a的取值范围是a＞1．（3分）

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目．