Question

16．已知a，b，c，d为实数，e是自然对数的底数，且e^b=2a-1，d=2c+3，则（a-c）²+（b-d）²的最小值5．

Answer 1

分析 由题意可得点（a，b）在y=ln（2x-1）图象上，点（c，d）在直线y=2x+3上，平移直线y=2x+3到与y=ln（2x-1）相切，切点到直线y=2x+3距离的平方即为所求．

解答 解：由题意可得点（a，b）在e^y=2x-1即函数y=ln（2x-1）图象上，
同理可得点（c，d）在直线y=2x+3上，
对y=ln（2x-1）求导数可得y′=$\frac{2}{2x-1}$，
令$\frac{2}{2x-1}$=2可解得x=1，代入y=ln（2x-1）可得y=0，
∴曲线y=ln（2x-1）上的点（1，0）到直线y=2x+3的距离为$\frac{|2+3|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值为（$\sqrt{5}$）²=5，
故答案为：5．

点评 本题考查函和导数，涉及转化的思想和距离公式的几何意义，属中档题．