Question

4．已知a∈R，函数f（x）=e^x-a（x+1）的图象与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx²，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点的坐标，得到方程组，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）构造g（x）=f（x）-mx²，求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出m的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-a，依题意，设切点为（b，0），（1分）
则$\left\{\begin{array}{l}{f（b）=0}\\{f′（b）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{b}-a（b+1）=0}\\{{e}^{b}-a=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$（3分）
所以f′（x）=e^x-1，
所以，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．
所以，f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-mx²，
则g′（x）=e^x-2mx-1，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=e^x-2m，（7分）
（ⅰ）若m≤$\frac{1}{2}$，
因为当x＞0时，e^x＞1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（0，+∞）上单调递增．
又因为g′（0）=0，所以当x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，
从而g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx²成立．（9分）
（ⅱ）若m＞$\frac{1}{2}$，
令h′（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，
当x∈（0，ln（2m）），h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（0，ln（2m））上单调递减，
又因为g′（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m））时，g′（x）＜0，
从而g（x）在（0，ln（2m））上单调递减，
而g（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m）），时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx²不成立．
综上所述，m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．（12分）

点评 本小题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．