Question

14．已知函数$f（x）=\frac{1}{x}+klnx，k≠0$．
（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）（法一）令g（x）=f（x）-k，则问题等价于函数g（x）存在零点，根据函数的单调性解出即可；（法二）问题等价于方程1+kx（lnx-1）=0有解，令g（x）=kx（lnx-1）+1，根据函数的单调性解出即可；（法三）问题等价于方程$\frac{1}{k}=x（1-lnx）$有解，设函数g（x）=x（1-lnx），根据函数的单调性解出即可．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\frac{1}{x}+klnx$的定义域为（0，+∞）．…．（1分）
$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}$．…．（3分）
当k=1时，$f'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}$，
令f'（x）=0，得x=1，…．（4分）
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

…．（6分）
所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=1，无极大值．…．（7分）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．…．（8分）
（Ⅱ）因为关于x的方程f（x）=k有解，
令g（x）=f（x）-k，则问题等价于函数g（x）存在零点，…．（9分）
所以$g'（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}=\frac{kx-1}{x^2}$．…．（10分）
令g'（x）=0，得$x=\frac{1}{k}$．
当k＜0时，g'（x）＜0对（0，+∞）成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
而g（1）=1-k＞0，$g（{e^{1-\frac{1}{k}}}）=\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}+k（1-\frac{1}{k}）-k=\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}-1＜\frac{1}{e}-1＜0$，
所以函数g（x）存在零点．…．（11分）
当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	$（0，\frac{1}{k}）$	$\frac{1}{k}$	$（\frac{1}{k}，+∞）$
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

所以$g（\frac{1}{k}）=k-k+kln\frac{1}{k}=-klnk$为函数g（x）的最小值，
当$g（\frac{1}{k}）＞0$时，即0＜k＜1时，函数g（x）没有零点，
当$g（\frac{1}{k}）≤0$时，即k≥1时，注意到$g（e）=\frac{1}{e}+k-k＞0$，所以函数g（x）存在零点．
综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．…．（13分）
法二：
因为关于x的方程f（x）=k有解，
所以问题等价于方程1+kx（lnx-1）=0有解，…．（9分）
令g（x）=kx（lnx-1）+1，所以g'（x）=klnx，…．（10分）
令g'（x）=0，得x=1
当k＜0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=k（-1）+1＞0.$g（{e^{1-\frac{1}{k}}}）=1+k{e^{1-\frac{1}{k}}}（1-\frac{1}{k}-1）=1-{e^{1-\frac{1}{k}}}＜0$，
所以函数g（x）存在零点．…．（11分）
当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

所以函数g（x）在x=1处取得最小值，而g（1）=k（-1）+1=1-k．
当g（1）=k（-1）+1=1-k＞0时，即0＜k＜1时，函数g（x）不存在零点．
当g（1）=k（-1）+1=1-k≤0，即k≥1时，g（e）=ke（lne-1）+1=1＞0
所以函数g（x）存在零点．…．（13分）
综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．
法三：因为关于x的方程f（x）=k有解，
所以问题等价于方程$\frac{1}{k}=x（1-lnx）$有解，…．（9分）
设函数g（x）=x（1-lnx），所以g'（x）=-lnx．…．（10分）
令g'（x）=0，得x=1，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=1，…．（11分）
又当x＞1时，1-lnx＜0，所以x（1-lnx）＜1-lnx，
所以函数g（x）的值域为（-∞，1]，…．（12分）
所以当$\frac{1}{k}∈（-∞，1]$时，关于x的方程f（x）=k有解，
所以k∈（-∞，0）∪[1，+∞）．…．（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．