Question

19．数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{n}^{2}}{an+b}$，若a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{5}{6}$．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n，数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n-1}$，数列{b_n}的前n项和T_n．求满足T_n＞$\frac{2006}{2016}$的最小正整数n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，n=2可得a，b的方程，解方程可得a=b=1，可得前n项和S_n，再由当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，计算可得数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n-1}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，解不等式即可得到所求n的最小值．

解答 解：（1）由a₁=S₁=$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{2}$，
S₂=a₁+a₂=$\frac{4}{2a+b}$=$\frac{4}{3}$，
可得a=b=1，
则S_n=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$-$\frac{（n-1）^{2}}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$，
对n=1也成立；
可得a_n=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}+n-1}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n项和T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
T_n＞$\frac{2006}{2016}$即为1-$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{2006}{2016}$，
解得n＞200.6，由于n为正整数，
可得最小正整数n为201．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列不等式的解法，注意运用数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．