Question

11．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$，x∈（0，+∞）在x=1处取得极值，则f（x）的极小值为-6．

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，从而求出f（x）的最小值即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-a}{{（x+1）}^{2}}$，
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$，x∈（0，+∞）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，解得：a=3，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{（x+1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
f（x）_极小值=f（1）=-6，
故答案为：-6．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．