Question

12．已知双曲线C₁和椭圆C₂有相同的焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），两曲线在第一象限内的交点为P，椭圆C₂与y轴负方向交点为B，且P，F₂，B三点共线，F₂分$\overrightarrow{PB}$所成的比为1：2，又直线PB与双曲线C₁的另一个交点为Q，若|F₂Q|=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，求双曲线C₁和椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），由题意可得a²-b²=c²=m²+n²，设P（u，v），B（0，-b），运用线段的定比分点坐标公式可得P的坐标，代入椭圆方程，可得c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，求得直线PB的方程，化简可得双曲线4x²-12y²=a²，将直线方程代入双曲线的方程，解得交点Q，再由两点的距离公式，可得a，进而得到b，m，n，即可得到所求双曲线和椭圆的方程．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），
由题意可得a²-b²=c²=m²+n²，
设P（u，v），B（0，-b），
F₂分$\overrightarrow{PB}$所成的比为1：2，即为$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，
即有c=$\frac{u+\frac{1}{2}•0}{1+\frac{1}{2}}$，0=$\frac{v+\frac{1}{2}•（-b）}{1+\frac{1}{2}}$，
解得u=$\frac{3}{2}$c，v=$\frac{1}{2}$b，
代入椭圆方程可得$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$=1，
即有c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
则P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{\sqrt{6}}{6}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a），
直线PB的方程为y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
由c²=m²+n²=$\frac{1}{3}$a²，
且$\frac{3}{4}$•$\frac{{a}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{6{n}^{2}}$=1，
解得m²=$\frac{1}{4}$a²，n²=$\frac{1}{12}$a²，
则双曲线的方程即为4x²-12y²=a²，
代入y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，可得
20x²-16$\sqrt{3}$ax+9a²=0，
解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$a或$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即有Q（$\frac{3\sqrt{3}}{10}$a，-$\frac{\sqrt{6}}{30}$a），
由|F₂Q|=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，可得$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{10}a-\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（-\frac{\sqrt{6}}{30}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
解得a=2$\sqrt{3}$，即有b=2$\sqrt{2}$，c=2，m=$\sqrt{3}$，n=1，
则双曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，线段的定比分点坐标公式，以及直线方程和双曲线方程联立，求交点，考查化简整理的运算能力，以及化归思想，属于中档题．