Question

3．函数f（x）=axⁿ（1-x）（x＞0，n∈N^*），当n=-2时，f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）-m=0有两个正实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$，得到f（$\frac{2}{3}$）=a•$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，解出即可；
（2）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的值域，从而求出m的范围．

解答 解：（1）n=2时，f（x）=ax²（1-x），
∴f′（x）=ax（2-3x），
令f′（x）=0得：x=0或x=$\frac{2}{3}$，
∵n=2时，f（x）的极大值为$\frac{4}{27}$，
故a＞0，且f（$\frac{2}{3}$）=a•$\frac{4}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，解得：a=1；
（2）∵f（x）=xⁿ（1-x），
∴f′（x）=nx^n-1-（n+1）xⁿ=（n+1）x^n-1（$\frac{n}{n+1}$-x），
显然，f（x）在x=$\frac{n}{n+1}$处取得最大值，
f（$\frac{n}{n+1}$）=$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$，
∴f（x）的值域是（0，$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$），
若方程f（x）-m=0有两个正实根，
只需0＜m＜$\frac{{n}^{n}}{{（n+1）}^{n+1}}$即可．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．