Question

12．直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，设直线AB的方程为：y=k$（x-\frac{p}{2}）$，（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k²x²-（2p+pk²）x+$\frac{{p}^{2}}{4}{k}^{2}$=0，由x_A+$\frac{P}{2}$=3，由|BC|=2|BF|，可得$\frac{{x}_{B}+\frac{P}{2}}{P}$=$\frac{2}{3}$，可得x_B．再利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：如图所示
设直线AB的方程为：y=k$（x-\frac{p}{2}）$，（k≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为：k²x²-（2p+pk²）x+$\frac{{p}^{2}}{4}{k}^{2}$=0，
∴x_Ax_B=$\frac{{P}^{2}}{4}$．
∵x_A+$\frac{P}{2}$=3，
∵|BC|=2|BF|，
∴$\frac{{x}_{B}+\frac{P}{2}}{P}$=$\frac{2}{3}$，
可得x_B=$\frac{p}{6}$．
∴$\frac{p}{6}（3-\frac{p}{2}）$=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
解得p=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．